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<!DOCTYPE html>

<title>Compton-Effekt</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Compton-Effekt</span></h1>

</header>

</div>

<th style="background:#FFDEAD;"><a href="Feynman-Diagramm" title="Feynman-Diagramm">Feynman-Diagramme</a>

</th></tr>

<tr>

<td><i><a href="Mandelstam-Variable" title="Mandelstam-Variable">s-Kanal</a></i><br><span class="skin-invert" typeof="mw:File"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><i><a href="Mandelstam-Variable" title="Mandelstam-Variable">u-Kanal</a></i><br><span class="skin-invert" typeof="mw:File"></span>

</td></tr></tbody></table>

<p>Als <b>Compton-Effekt</b> bezeichnet man die Vergrößerung der <a href="Wellenl%C3%A4nge" title="Wellenlänge">Wellenlänge</a> eines <a href="Photon" title="Photon">Photons</a> bei der <a href="Streuung_(Physik)" title="Streuung (Physik)">Streuung</a> an einem <a href="Teilchen_(Physik)#Von_Chemie_bis_zur_Kernphysik" class="mw-redirect" title="Teilchen (Physik)">Teilchen</a>. Erstmals wurde der Compton-Effekt an <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a> beobachtet. Diese <b>Compton-Streuung</b> (nach <a href="Arthur_Holly_Compton" title="Arthur Holly Compton">Arthur Holly Compton</a>, der hierfür 1927 den <a href="Nobelpreis_f%C3%BCr_Physik" title="Nobelpreis für Physik">Nobelpreis für Physik</a> erhielt) ist ein wichtiger <a href="Ionisierende_Strahlung" title="Ionisierende Strahlung">Ionisationsprozess</a> und der dominierende Wechselwirkungsprozess energiereicher <a href="Elektromagnetische_Strahlung" class="mw-redirect" title="Elektromagnetische Strahlung">Strahlung</a> mit Materie für Photonenenergien zwischen etwa 100 <a href="KeV" class="mw-redirect" title="KeV">keV</a> und 10 MeV.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

<p>Bis zur Entdeckung des Compton-Effekts war der <a href="Photoeffekt" class="mw-redirect" title="Photoeffekt">Photoeffekt</a> der einzige Befund, dass Licht sich nicht nur wie eine Welle, sondern auch wie ein Strom von Teilchen verhält (siehe auch <a href="Welle-Teilchen-Dualismus" title="Welle-Teilchen-Dualismus">Welle-Teilchen-Dualismus</a>).

</p><p>Als <a href="Arthur_Holly_Compton" title="Arthur Holly Compton">Arthur Compton</a> im Jahre 1922 die Streuung von hochenergetischen Röntgenstrahlen an <a href="Graphit" title="Graphit">Graphit</a> untersuchte, machte er zwei Beobachtungen: Zum einen war die <a href="Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt" title="Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt">Streuwinkelverteilung</a> in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung nicht gleich und zum anderen war die Wellenlänge der gestreuten Strahlung größer als die der einfallenden Strahlung. Beide Beobachtungen waren mit der Vorstellung unverträglich, eine elektromagnetische Welle werde an freien Elektronen (<a href="Thomson-Streuung" title="Thomson-Streuung">Thomson-Streuung</a>) oder an gebundenen Elektronen (<a href="Rayleigh-Streuung" title="Rayleigh-Streuung">Rayleigh-Streuung</a>) gestreut, denn dann würden die Elektronen mit der Frequenz der einfallenden Welle schwingen und eine Welle mit unveränderter Frequenz aussenden.

</p><p>Stattdessen zeigten Comptons Messungen, dass sich die Wellenlänge der gestreuten Strahlung je nach Streuwinkel wie bei einem Stoß zwischen Teilchen, dem Photon und dem Elektron, verhält (Herleitung siehe unten). Damit bestätigte Compton den Teilchencharakter von Licht.<sup id="cite_ref-Compton1922_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Compton1922-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Compton1923_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Compton1923-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Während die Berechnung der Energie des gestreuten Photons und Elektrons aus den klassischen Energie- und Impulserhaltungssätzen ableitbar ist, wenn man nur annimmt, dass das Photon ein Teilchen ist, ist dies für die Winkelverteilung der Streuung nicht mehr möglich. Zwei harte Kugeln zeigen einen anderen <a href="Differentieller_Wirkungsquerschnitt" class="mw-redirect" title="Differentieller Wirkungsquerschnitt">differentiellen Streuquerschnitt</a> als der Compton-Effekt. Dieser ist erst verständlich, wenn sowohl Elektron als auch Photon im Rahmen der <a href="Quantenelektrodynamik" title="Quantenelektrodynamik">Quantenelektrodynamik</a> behandelt werden.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Compton-Wellenlänge"><span id="Compton-Wellenl.C3.A4nge"></span>Compton-Wellenlänge</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Compton-Wellenl%C3%A4nge" title="Compton-Wellenlänge">Compton-Wellenlänge</a></i></div>

<p>Beim Stoß an einem (quasi) freien, ruhenden Elektron übernimmt dieses einen Teil der Energie<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ E}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01358ea1a9419bfbfbaab2467c6db81c1a6b1fb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.356ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ E}" loading="lazy"></span> des Photons, dessen Energie sich auf<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ E'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ E'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c87edaf90737adcbef0a797069b42a7f60bc78e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.059ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ E'}" loading="lazy"></span> vermindert – es handelt sich um einen <i><a href="Elastischer_Stoss" class="mw-redirect" title="Elastischer Stoss">elastischen Stoß</a></i>. Je größer seine Ausgangsenergie, desto vollständiger kann die Energie übertragen werden, siehe Abbildungen rechts. Der Streuwinkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span> ist der Winkel, um den sich die Bewegungsrichtung des Photons ändert. Bei einem „Streifschuss“ mit Ablenkung um <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \approx 0^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \approx 0^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba386001343f68209cbc57a1b3a4d9616fee724c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.835ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi \approx 0^{\circ }}" loading="lazy"></span> behält das Photon fast seine ganze Energie, bei einem „Frontalzusammenstoß“ mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =180^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f92e3a802cc79fe9a181dfa3654687b19bc042a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi =180^{\circ }}" loading="lazy"></span> wird das Photon zurückgestreut und gibt die maximal übertragbare Energie ab.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition">Definition</h3></div>

<p>Durch den Energieverlust nimmt die <a href="Wellenl%C3%A4nge" title="Wellenlänge">Wellenlänge</a> des Photons zu. Bemerkenswert ist, dass diese Zunahme <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \Delta \lambda =\lambda '-\lambda }">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \Delta \lambda =\lambda '-\lambda }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/125b4022795f99473be6054ffb79079a6c60f61c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.206ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ \Delta \lambda =\lambda '-\lambda }" loading="lazy"></span> nur vom Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ed7e55aab067be98e0c3fb3612839a3dd2e927a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ \varphi }" loading="lazy"></span> und nicht von der ursprünglichen Photonenenergie abhängt:

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {h}{m_{\mathrm {e} }c}}\left(1-\cos \varphi \right)=\lambda _{\mathrm {C} }\left(1-\cos \varphi \right)\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6999d571dbedb14582e844965d57c06ad8b8554e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:40.964ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {h}{m_{\mathrm {e} }c}}\left(1-\cos \varphi \right)=\lambda _{\mathrm {C} }\left(1-\cos \varphi \right)\,.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die <b>Compton-Wellenlänge</b> ist für ein Teilchen mit Masse eine charakteristische Größe. Sie gibt die Zunahme der Wellenlänge des rechtwinklig an ihm gestreuten Photons an.

</p><p>Die Compton-Wellenlänge eines Teilchens der Masse <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> beträgt

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{\mathrm {C} }={\frac {h}{m\,c}}\,,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5108ef1607fcfd9e9d386586a1cdac1ca2d4e318.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.177ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{\mathrm {C} }={\frac {h}{m\,c}}\,,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"></span> die <a href="Planck-Konstante" title="Planck-Konstante">Planck-Konstante</a> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"></span> die <a href="Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> ist. Sie ist damit die Wellenlänge, die ein Photon hat, wenn dessen Energie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\gamma }=hc/\lambda }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\gamma }=hc/\lambda }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d510f81ccc6b931f229c93d352f9dcc9b7ada93e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.802ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E_{\gamma }=hc/\lambda }" loading="lazy"></span> gleich der <a href="Ruheenergie" class="mw-redirect" title="Ruheenergie">Ruheenergie</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{0}=mc^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{0}=mc^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c817d727d88d16ad580951c6c13b40834a634746.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.969ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E_{0}=mc^{2}}" loading="lazy"></span> des Teilchens ist.

</p><p>Die Compton-Wellenlängen des Elektrons ist <span style="white-space:nowrap"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r252749370">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .numericFormat-multiply{background-position:center;background-repeat:no-repeat;border-radius:0.2em;color:transparent!important;display:inline-block;line-height:0.2em;margin-left:0.3em;margin-right:0.15em;width:0.2em}.mw-parser-output .numericFormat-10::before{content:"10"}.mw-parser-output .numericFormat-10 sup{margin-left:0.12em}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r198372224">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .numericFormat-1000::after{content:"."}.mw-parser-output .numericFormat-minus>span,.mw-parser-output .numericFormat-dec>span{position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden}.mw-parser-output .numericFormat-minus::after{content:"−"}.mw-parser-output .numericFormat-dec::after{content:","}.mw-parser-output .numericFormat-fractpart{margin-right:0.2em}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>2<span class="numericFormat-dec"><span>.</span></span>43<span class="numericFormat-multiply" style="background-color:var(--color-base, #202122)">e</span><span class="numericFormat-10"><sup><span class="numericFormat-minus"><span>-</span></span>12</sup></span> m</span>. Diese sehr geringen Wellenlängenänderungen sind der Grund dafür, dass der Compton-Effekt nur bei sehr kurzwelliger Strahlung, im Bereich der <a href="R%C3%B6ntgenstrahlung" title="Röntgenstrahlung">Röntgen-</a> und <a href="Gammastrahlung" title="Gammastrahlung">Gammastrahlung</a>, beobachtet werden kann. Bei größeren Wellenlängen ist deren relative Zunahme zu gering, die Streuung scheint ohne Energieverlust stattzufinden, man spricht dann von <a href="Thomson-Streuung" title="Thomson-Streuung">Thomson-Streuung</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Streuquerschnitt">Streuquerschnitt</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt" title="Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt">Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt</a></i></div>

<p>Der winkelabhängige <a href="Wirkungsquerschnitt" title="Wirkungsquerschnitt">Wirkungsquerschnitt</a> für die Compton-Streuung ist (in der Näherung freier, ruhender Elektronen) durch die <a href="Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt" title="Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt">Klein-Nishina-Formel</a> gegeben. Bei der Compton-Streuung in Materie wird ein Elektron aus der <a href="Atomh%C3%BClle" title="Atomhülle">Atomhülle</a> geschlagen. In diesem Fall gelten diese Formeln nur noch näherungsweise. Der Einfluss des <a href="Impuls_(Physik)" class="mw-redirect" title="Impuls (Physik)">Impulses</a> des gebundenen Elektrons auf die Energie des gestreuten Photons wird als <a href="Dopplerverbreiterung" title="Dopplerverbreiterung">Dopplerverbreiterung</a> bezeichnet. Es handelt sich dabei um die Projektion der Impulsverteilung der streuenden Elektronen auf die Richtung des Impulsübertrags während der Streuung. Sie ist bei niedrigen Photonenergien, großen Streuwinkeln und Atomen mit hoher <a href="Ordnungszahl" title="Ordnungszahl">Kernladungszahl</a> besonders ausgeprägt.

</p><p>Streut man Photonen an anderen Objekten als Elektronen, zum Beispiel an einem Proton, so muss in obigen Gleichungen die Masse <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> entsprechend eingesetzt werden, wodurch sich <i>Compton-Wellenlänge</i> und Wirkungsquerschnitt ändern würden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Inverser_Compton-Effekt">Inverser Compton-Effekt</h2></div>

<p>Beim <b>inversen Compton-Effekt</b> streut ein hochenergetisches Elektron (oder ein anderes geladenes Teilchen, etwa ein Proton) an einem niederenergetischen Photon und überträgt Energie auf das Photon. Der inverse Compton-Effekt tritt in <a href="Teilchenphysik" title="Teilchenphysik">Teilchenbeschleunigern</a> auf und kann in der <a href="Astrophysik" title="Astrophysik">Astrophysik</a> bei Ausströmungen in den Koronen von <a href="Akkretionsscheibe" title="Akkretionsscheibe">Akkretionsscheiben</a> <a href="Aktiver_galaktischer_Kern" class="mw-redirect" title="Aktiver galaktischer Kern">aktiver Galaxienkerne</a> und bei <a href="Supernova" title="Supernova">Supernovae</a> beobachtet werden (siehe auch <a href="Sunjajew-Seldowitsch-Effekt" title="Sunjajew-Seldowitsch-Effekt">Sunjajew-Seldowitsch-Effekt</a>). Inverse Compton-Streuung an der <a href="Kosmischer_Mikrowellenhintergrund" class="mw-redirect" title="Kosmischer Mikrowellenhintergrund">Hintergrundstrahlung</a> beschränkt die Maximalenergie von Protonen in der <a href="Kosmische_Strahlung" title="Kosmische Strahlung">kosmischen Strahlung</a> (siehe auch <a href="GZK-Cutoff" title="GZK-Cutoff">GZK-Cutoff</a>).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<p>Da es sehr schwierig ist, <a href="Gammastrahlung" title="Gammastrahlung">Gammastrahlung</a> mittels <a href="Linse_(Optik)" title="Linse (Optik)">Linsen</a> zu fokussieren, spielt der Compton-Effekt eine wichtige Rolle bei der Abbildung mittels Gammastrahlen im Energiebereich von einigen hundert <a href="KeV" class="mw-redirect" title="KeV">keV</a> bis zu einigen zehn <a href="Elektronenvolt" title="Elektronenvolt">MeV</a>. In sogenannten Compton-Teleskopen (auch Compton-Kameras genannt) misst man Energie und Richtung des gestreuten Photons sowie Energie und (manchmal) auch Richtung des Elektrons. So können Energie, Ursprungsrichtung und unter Umständen die <a href="Polarisation" title="Polarisation">Polarisation</a> des einfallenden Photons bestimmt werden. In der Realität wird dies durch <a href="Messunsicherheit" title="Messunsicherheit">Messunsicherheiten</a> und nicht gemessene Größen wie die Richtung des Elektrons jedoch stark erschwert, so dass komplexe Ereignis- und Bildrekonstruktionsmethoden angewandt werden müssen.

</p><p>Das wohl bekannteste Compton-Teleskop war COMPTEL, das an Bord des NASA-Satelliten <a href="Compton_Gamma_Ray_Observatory" title="Compton Gamma Ray Observatory">Compton Gamma Ray Observatory</a> (CGRO) von 1991 bis 2000 als erstes Teleskop den Sternenhimmel im Energiebereich zwischen 0,75 und 30 MeV erforschte.

</p><p>Compton-Kameras könnten zukünftig im Bereich der Medizin gegenüber den heute (2019) verwendeten Szintigraphie-<a href="Gammakamera" title="Gammakamera">Gammakameras</a> eine bessere räumliche Auflösung liefern, also <a href="Tumor" title="Tumor">Tumoren</a> und <a href="Metastasen" class="mw-redirect" title="Metastasen">Metastasen</a> exakter lokalisieren. In der Nukleartechnik könnten in Zukunft mittels Compton-Kameras z. B. Nuklearanlagen oder nukleare Abfälle überwacht werden.

</p><p>Für die Sicherheitskontrollen an Flughäfen wurden <a href="K%C3%B6rperscanner" title="Körperscanner">Scanner-Geräte</a> entwickelt, welche die Compton-Rückstreuung (engl. <i>backscatter</i>) von Röntgenstrahlung an Oberflächen nutzen. Diese werden zurzeit in den USA getestet.

</p><p>Der inverse Compton-Effekt wird genutzt, um durch Rückstreuung von Laserphotonen an hochenergetischen Elektronen monochromatische, linear polarisierte Gammastrahlung zu erzeugen.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Compton-Kontinuum_und_Compton-Kante">Compton-Kontinuum und Compton-Kante</h2></div>

<p>Aus den unten hergeleiteten Formeln errechnet man leicht einen Ausdruck für die winkelabhängige Energie des <a href="Photon" title="Photon">Photons</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\gamma }'}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\gamma }'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/649fe6b97330742872ab45f08d58d9b81a3b52b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.84ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\gamma }'}" loading="lazy"></span> und die <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetische Energie</a> des Elektrons <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\rm {e}}'}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\rm {e}}'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/432f7cd33096b5f1723341dc682ae6de5e7a24be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.678ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{\rm {e}}'}" loading="lazy"></span> nach der Streuung (<a href="Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt" title="Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt">Klein-Nishina-Formel</a>):

</p><p>Photon: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\gamma }'(\varphi )={\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}">

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\gamma }'(\varphi )={\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39847f1726da791bb4543284272ef232892afadd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:29.517ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle E_{\gamma }'(\varphi )={\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}" loading="lazy"></span>

</p><p>Elektron: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\rm {e}}'(\varphi )=E_{\gamma }-E_{\gamma }'(\varphi )=E_{\gamma }\left(1-{\frac {1}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos(\varphi ))}}\right)}">

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\rm {e}}'(\varphi )=E_{\gamma }-E_{\gamma }'(\varphi )=E_{\gamma }\left(1-{\frac {1}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos(\varphi ))}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e75adee648ef20c9559d7f44d2279f396619d6b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:57.022ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle E_{\rm {e}}'(\varphi )=E_{\gamma }-E_{\gamma }'(\varphi )=E_{\gamma }\left(1-{\frac {1}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos(\varphi ))}}\right)}" loading="lazy"></span>

</p><p>Werden viele Photonen der <a href="Energie" title="Energie">Energie</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\gamma }=h\nu }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\gamma }=h\nu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6939e28362401d4195a6365c309392f734d5a040.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.51ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\gamma }=h\nu }" loading="lazy"></span> nach Compton gestreut (etwa in einem <a href="Szintillator" title="Szintillator">Szintillator</a> oder anderen Detektor), so ergibt sich ein charakteristisches Energiespektrum der gestreuten Elektronen, wie es die nebenstehende Grafik zeigt. Die hierbei auf die Elektronen übertragene Energie ist eine kontinuierliche Funktion des Streuwinkels <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"></span> (<b>Compton-Kontinuum</b>), hat jedoch eine scharfe obere Schranke. Diese sogenannte <b>Compton-Kante</b> ergibt sich, weil die gestreuten Photonen bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"></span> = 180° die größtmögliche Energie an die Elektronen übertragen. Somit liegt die Kante im Spektrum bei

</p>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\rm {e}}'(180^{\circ })=E_{\gamma }\left(1-{\frac {1}{1+{\frac {2E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}}}\right)={\frac {2E_{\gamma }^{2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}+2E_{\gamma }}}={\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {m_{\mathrm {e} }c^{2}}{2E_{\gamma }}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85bc73f9a9d1dfa751783fe5447ea849de2f8aa2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:61.2ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle E_{\rm {e}}'(180^{\circ })=E_{\gamma }\left(1-{\frac {1}{1+{\frac {2E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}}}\right)={\frac {2E_{\gamma }^{2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}+2E_{\gamma }}}={\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {m_{\mathrm {e} }c^{2}}{2E_{\gamma }}}}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Zusätzlich erhält man im Energiespektrum einen „<a href="Peak" title="Peak">Photopeak</a>“ oder „Full Energy Peak“, eine Spektrallinie bei der Energie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\gamma }}">

<msub>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\gamma }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b7c4bbc56e3ac88a6c9daf40a7c108f0603bd02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.84ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\gamma }}" loading="lazy"></span>. Sie stammt von Detektionsereignissen, bei denen die <i>gesamte</i> Energie des Photons im Detektor deponiert wurde, beispielsweise durch den <a href="Photoelektrischer_Effekt" title="Photoelektrischer Effekt">Photoeffekt</a>. Aus der obigen Formel lässt sich ablesen, dass sich die zu einem Photopeak gehörige Compton-Kante bei

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {m_{\mathrm {e} }c^{2}}{2E_{\gamma }}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c52c3e272bf6a8b350a6192932452b4f3f66b88a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:9.418ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {m_{\mathrm {e} }c^{2}}{2E_{\gamma }}}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>links von diesem Peak befindet.

</p><p>Die Abbildung rechts zeigt ein mit einem <a href="Halbleiterdetektor" title="Halbleiterdetektor">Germaniumdetektor</a> aufgenommenes Gamma-Spektrum. Bei etwa 4,4 MeV findet sich der breite Photopeak der Gammastrahlung, die aus unelastischer Neutronenstreuung an <sup>12</sup>C-Atomkernen stammt (die Linie ist durch Rückstoßbewegung der Kohlenstoff-Kerne <a href="Dopplerverbreiterung" title="Dopplerverbreiterung">dopplerverbreitert</a>). Aus der Gammaenergie 4,4 MeV folgt mit der obigen Gleichung, dass die zugehörige Compton-Kante bei etwa 4,2 MeV liegen muss, wo sie in der Abbildung auch leicht zu erkennen ist. Links von ihr zeigt sich das zugehörige Kontinuum. Die als „single escape“ und „double escape“ gekennzeichneten Peaks haben mit dem Compton-Effekt nichts zu tun; sie entstehen, wenn das Photon über <a href="Paarbildung_(Physik)" title="Paarbildung (Physik)">Paarbildung</a> im Detektor wechselwirkt und bei der anschließenden e<sup>+</sup>e<sup>−</sup>-Annihilation eines bzw. beide der entstehenden 511-keV-Photonen entweichen (<a href="Escapelinie" title="Escapelinie">Escapelinien</a>). Außerdem wird Gammastrahlung von 2160 keV detektiert, die von einem anderen Kern herrührt und als scharfe Linie, mit Compton-Spektrum sowie single- und double-escape-Linien 511 keV bzw. 1022 keV darunter, erkennbar ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Herleitung_der_Compton-Formel">Herleitung der Compton-Formel</h2></div>

<p>Bei den unterschiedlichen Herleitungen wird immer ein freies Elektron angenommen. Ist das Elektron in einem Atom gebunden, muss man die Bindungsenergie von der kinetischen Energie des Elektrons nach dem Stoß abziehen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ruhendes_Elektron">Ruhendes Elektron</h3></div>

<p>Im Folgenden berechnen wir die Compton-Formel, indem wir das Teilchen als zu Beginn ruhend annehmen. Bei der Streuung überträgt das Photon einen Teil seiner Energie auf das <a href="Elektron" title="Elektron">Elektron</a>, sodass sich die beiden Teilchen nach der Streuung in verschiedenen Richtungen auseinander bewegen.

</p>

<p>Zunächst betrachten wir, welche Energie und welchen Impuls die jeweiligen Teilchen vor sowie nach der Streuung tragen (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.232ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \nu }" loading="lazy"></span> steht dabei für die <a href="Frequenz" title="Frequenz">Frequenz</a>):

</p>

<td colspan="2" align="center">Energie des …

</td>

<td colspan="2" align="center">Impuls des …

</td></tr>

<tr>

<td>Elektrons vorher</td>

<td>Photons vorher</td>

<td>Elektrons vorher

</td></tr>

<tr>

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</mrow>

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<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ E_{\mathrm {e} }=m_{\mathrm {e} }c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a3272587facbe13cc5b1d8d93591e536e5e0eac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.42ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ E_{\mathrm {e} }=m_{\mathrm {e} }c^{2}}" loading="lazy"></span></td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ E_{\gamma }=h\nu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/414d2c360e7fabca1eb705d4aacc93df55171300.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.09ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ E_{\gamma }=h\nu }" loading="lazy"></span></td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ p_{\gamma }=h\nu /c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a86fb2de64ee6e4c1f427a831cd9dc08efb3b80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.714ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ p_{\gamma }=h\nu /c}" loading="lazy"></span></td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ p_{\mathrm {e} }=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07a2d8407f16037ab0a2d4679b553f13adb05758.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.973ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ p_{\mathrm {e} }=0}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td>Elektrons nachher</td>

<td>Photons nachher</td>

<td>Elektrons nachher

</td></tr>

<tr>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ E_{\mathrm {e} }'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65a65cf9b396d9f1aa767f0b96a74e89ee5896f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.258ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ E_{\mathrm {e} }'}" loading="lazy"></span></td>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ E_{\gamma }'=h\nu '}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f1a53c8e2a581905b67079cf45aa2aca0c450d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.8ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ E_{\gamma }'=h\nu '}" loading="lazy"></span></td>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ p'_{\gamma }=h\nu '/c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afe540ab8aec7d179d5fc50b98458515ea7220ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.424ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ p'_{\gamma }=h\nu '/c}" loading="lazy"></span></td>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ p'_{\mathrm {e} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c140f0d8d70d7a7db0b0ed0db947a57a91dd84ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.712ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ p'_{\mathrm {e} }}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<p>Die beiden Teilchen müssen vor und nach der Streuung den <a href="Energieerhaltungssatz" title="Energieerhaltungssatz">Energie-</a> und <a href="Impulserhaltungssatz" title="Impulserhaltungssatz">Impulserhaltungssatz</a> erfüllen.

</p>

<td>Energieerhaltungssatz</td>

<td>Impulserhaltungssatz

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\mathrm {e} }+E_{\gamma }=E_{\mathrm {e} }'+E_{\gamma }'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/566dde97eca670720d3cb2ef372daf41e01752ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.814ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\mathrm {e} }+E_{\gamma }=E_{\mathrm {e} }'+E_{\gamma }'}" loading="lazy"></span></td>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{\gamma }={\vec {p}}_{\mathrm {e} }'+{\vec {p}}_{\gamma }'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0523f721981aab78f9a1846cf3c1e883c08abeb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; margin-left: -0.089ex; width:13.216ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{\gamma }={\vec {p}}_{\mathrm {e} }'+{\vec {p}}_{\gamma }'}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<p>In der speziellen Relativitätstheorie stehen die Energie und der Impuls eines Teilchens über die <a href="Energie-Impuls-Relation" class="mw-redirect" title="Energie-Impuls-Relation">Energie-Impuls-Beziehung</a> miteinander in Zusammenhang. Da sich die Teilchen auf den Seiten eines Dreiecks bewegen, die ihrem jeweiligen Impuls entsprechen, stehen die räumlichen Impulse über den <a href="Kosinussatz" title="Kosinussatz">Kosinussatz</a> in Verbindung. Es gilt:

</p>

<td>Energie-Impuls-Beziehung</td>

<td>Kosinussatz

</td></tr>

<tr>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\mathrm {e} }^{2}=E_{\mathrm {e} }'^{2}-{\vec {p}}_{\mathrm {e} }'^{2}c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b80d69fbf80862889d9461d39d5b2824a8147081.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.98ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle E_{\mathrm {e} }^{2}=E_{\mathrm {e} }'^{2}-{\vec {p}}_{\mathrm {e} }'^{2}c^{2}}" loading="lazy"></span></td>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{\mathrm {e} }'^{2}={\vec {p}}_{\gamma }^{2}+{\vec {p}}_{\gamma }'^{2}-2\vert {\vec {p}}_{\gamma }\vert \cdot \vert {\vec {p}}_{\gamma }'\vert \cos \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df5bd538a0f230010d086b73041e104fc70607b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; margin-left: -0.089ex; width:32.717ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{\mathrm {e} }'^{2}={\vec {p}}_{\gamma }^{2}+{\vec {p}}_{\gamma }'^{2}-2\vert {\vec {p}}_{\gamma }\vert \cdot \vert {\vec {p}}_{\gamma }'\vert \cos \varphi }" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<p>Nach dem Einsetzen der Ausdrücke für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{e}'}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{e}'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68560323a51bb01068ebc974c05c69d3ae4db2b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.714ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{e}'}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p'_{e}}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p'_{e}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/771a7aaf6449f8b9b85a91bbff996e0b1f7a1e3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.257ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p'_{e}}" loading="lazy"></span> in die Energie-Impuls-Beziehung und Zusammenfassen der Terme folgt

</p>

<mfrac>

<msup>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{\nu '}}-{\frac {1}{\nu }}={\frac {h}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}\left(1-\cos \varphi \right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60a6da14e6a6d9870fac7e9aca12bc8b6496a898.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.903ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{\nu '}}-{\frac {1}{\nu }}={\frac {h}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}\left(1-\cos \varphi \right)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {h}{m_{\mathrm {e} }c}}\left(1-\cos \varphi \right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/381600dcb4972ecde8f18b666683c57d24ef1941.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:22.453ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {h}{m_{\mathrm {e} }c}}\left(1-\cos \varphi \right)}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<p>Dabei wurde in der letzten Umformung der Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Frequenz mittels <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=\lambda \nu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=\lambda \nu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a58db1311eb8f748060ce4efc3ef4c4324bde6bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=\lambda \nu }" loading="lazy"></span> ausgenutzt.

</p><p>Alternativ kann man aus derselben Gleichung auch die Energie des wegfliegenden (gestreuten) Photons bestimmen:

</p>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E'_{\gamma }={\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cae1fcd1d1e084d59f5587498d538aec6a0b56e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:26.187ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle E'_{\gamma }={\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<p>Daran ist gut zu erkennen, dass eine vollständige Absorption, d. h. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E'_{\gamma }=0}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E'_{\gamma }=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/200210e03f381255034adf359800da7a2bcd34b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.101ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E'_{\gamma }=0}" loading="lazy"></span>, nicht möglich ist. Dem Photon verbleibt mindestens die Energie

</p>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E'_{\gamma }={\frac {E_{\gamma }}{1+2{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd88b831020001cab3eeef141fa5ff99dbd4af92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:16.519ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle E'_{\gamma }={\frac {E_{\gamma }}{1+2{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}}}}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>die sich bei Rückwärtsstreuung (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"></span>=180°) ergibt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beliebiges_Bezugssystem">Beliebiges Bezugssystem</h3></div>

<p>Während sich der Compton-Effekt im Falle eines ruhenden Elektrons leicht trigonometrisch berechnen lässt, stellt sich die Situation in einem beliebigen Bezugssystem schwieriger dar. In diesem Fall bewegt sich das Elektron vor dem Stoß mit der Geschwindigkeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy"></span>, wobei es die Gesamtenergie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\mathrm {e} }=\gamma m_{\mathrm {e} }c^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\mathrm {e} }=\gamma m_{\mathrm {e} }c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9f78564c0fea80d51ae61f03bd15b691a69b122.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.102ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle E_{\mathrm {e} }=\gamma m_{\mathrm {e} }c^{2}}" loading="lazy"></span> und den Impuls <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\vec {p}}|=\gamma m_{\mathrm {e} }c\beta }">

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\vec {p}}|=\gamma m_{\mathrm {e} }c\beta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f6b9a18e8959bc4804ac11b2fae860c78cfebbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.321ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |{\vec {p}}|=\gamma m_{\mathrm {e} }c\beta }" loading="lazy"></span> trägt,

mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \beta ={\frac {|{\vec {v}}|}{c}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \beta ={\frac {|{\vec {v}}|}{c}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8900e8710dd87e717614abb4fb808b89147cdc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.031ex; height:4.343ex;" alt="{\textstyle \beta ={\frac {|{\vec {v}}|}{c}}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}">

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84001a629e67c7a259ef936206900fe8c70864e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:10.718ex; height:5.509ex;" alt="{\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Um den Compton-Effekt im nun betrachteten Fall zu berechnen, verwenden wir den <a href="Vierervektor" title="Vierervektor">Vierervektor</a>-Formalismus.

</p><p>Die Viererimpulse, welche die beteiligten Teilchen vor und nach dem Streuprozess besitzen, sind

</p>

<td>Elektron vorher</td>

<td>Photon vorher

</td></tr>

<tr>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\mu }=\left({\frac {E_{\mathrm {e} }}{c}},{\vec {p}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/902e42d8fd8d3ab3e721a467e37307e91892ebfa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.089ex; width:14.875ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle p^{\mu }=\left({\frac {E_{\mathrm {e} }}{c}},{\vec {p}}\right)}" loading="lazy"></span></td>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q^{\mu }=\left({\frac {E_{\gamma }}{c}},{\frac {E_{\gamma }}{c}}{\vec {n}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4152b96894f66b9595d335b92391b70210c7dff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.604ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle q^{\mu }=\left({\frac {E_{\gamma }}{c}},{\frac {E_{\gamma }}{c}}{\vec {n}}\right)}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<td>Elektron nachher</td>

<td>Photon nachher

</td></tr>

<tr>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p'^{\mu }=\left({\frac {E'_{\mathrm {e} }}{c}},{\vec {p}}'\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18dde12832a671a5e1e5d50879c557405b8a5401.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.089ex; width:16.012ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle p'^{\mu }=\left({\frac {E'_{\mathrm {e} }}{c}},{\vec {p}}'\right)}" loading="lazy"></span></td>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q'^{\mu }=\left({\frac {E'_{\gamma }}{c}},{\frac {E'_{\gamma }}{c}}{\vec {n}}'\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68e9961fda3b5c71a725018730b20165c19f3244.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.741ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle q'^{\mu }=\left({\frac {E'_{\gamma }}{c}},{\frac {E'_{\gamma }}{c}}{\vec {n}}'\right)}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<p>Hierbei bezeichnet <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49569db585c1b6306d5ffd91161775f67235fae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}}" loading="lazy"></span> einen <a href="Einheitsvektor" title="Einheitsvektor">Einheitsvektor</a>, der in Bewegungsrichtung des Photons zeigt.

</p><p>Aus der Energie-Impuls-Relation folgt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{2}=p'^{2}=(m_{\mathrm {e} }c)^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{2}=p'^{2}=(m_{\mathrm {e} }c)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a90135a371b80aad5827861674c79edbfc474e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:18.059ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle p^{2}=p'^{2}=(m_{\mathrm {e} }c)^{2}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q^{2}=q'^{2}=0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q^{2}=q'^{2}=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98a8263553f22d57f290c7d7d1d0c1ea46aa4394.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.079ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle q^{2}=q'^{2}=0}" loading="lazy"></span>. Für die gemischten Produkte gilt

</p>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

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<mrow>

</mrow>

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</msub>

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<mrow>

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</msup>

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<mtd>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}p_{\mu }q^{\mu }&=\gamma m_{\mathrm {e} }E_{\gamma }(1-\beta \cos \Omega )\\p_{\mu }q'^{\mu }&=\gamma m_{\mathrm {e} }E'_{\gamma }(1-\beta \cos \Omega ')\\q_{\mu }q'^{\mu }&={\frac {E_{\gamma }E'_{\gamma }}{c^{2}}}(1-\cos \varphi )\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02f2ad9064723a209fc93d8a26c61d70cbc27f96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.393ex; margin-bottom: -0.279ex; width:29.495ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}p_{\mu }q^{\mu }&=\gamma m_{\mathrm {e} }E_{\gamma }(1-\beta \cos \Omega )\\p_{\mu }q'^{\mu }&=\gamma m_{\mathrm {e} }E'_{\gamma }(1-\beta \cos \Omega ')\\q_{\mu }q'^{\mu }&={\frac {E_{\gamma }E'_{\gamma }}{c^{2}}}(1-\cos \varphi )\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Dabei bezeichnet

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" loading="lazy"></span> den Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen von Elektron und Photon <i>vor</i> der Streuung,</li>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega '}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7816f1c1988daecea948e9ea48170b028d97602.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.363ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Omega '}" loading="lazy"></span> den Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen von Elektron <i>vor</i> der Streuung und Photon <i>nach</i> der Streuung und</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span> den Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen von Photon <i>vor</i> der Streuung und Photon <i>nach</i> der Streuung.</li></ul>

<p>Wird ein Photon an einem Elektron gestreut, so muss die Energie- und <a href="Impulserhaltungssatz" title="Impulserhaltungssatz">Impulserhaltung</a> erfüllt sein. Da die Energie proportional der Nullkomponente des Viererimpulses ist und die restlichen Komponenten den Impuls repräsentieren, folgt

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

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<mrow>

</mrow>

</msup>

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<mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\mu }+q^{\mu }-q'^{\mu }=p'^{\mu }\Rightarrow p_{\mu }q^{\mu }-q_{\mu }q'^{\mu }-p_{\mu }q'^{\mu }=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d26dee792985875daf074fb3150abf7802c68fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:47.58ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle p^{\mu }+q^{\mu }-q'^{\mu }=p'^{\mu }\Rightarrow p_{\mu }q^{\mu }-q_{\mu }q'^{\mu }-p_{\mu }q'^{\mu }=0}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Nach Einsetzen der Skalarprodukte und Umformen folgt

</p>

</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

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</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E'_{\gamma }=E_{\gamma }{\frac {(1-\beta \cos \Omega )}{(1-\beta \cos \Omega ')+{\frac {h\nu }{\gamma m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02cac7dda1dc9ee991017a3cd8eb9581b6787bc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:42.15ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle E'_{\gamma }=E_{\gamma }{\frac {(1-\beta \cos \Omega )}{(1-\beta \cos \Omega ')+{\frac {h\nu }{\gamma m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<p>Je nach Einfallswinkel und kinetischer Energie kann das Elektron eine gewisse Energie an das Photon übertragen (inverse Compton-Streuung). Im Ruhesystem des Elektrons war die Geschwindigkeit desselben vor dem Stoß gleich Null. Demnach ist

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5682ebb86d6f024a15f4a2c1c7cb08412720bcaf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.523ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \gamma =1}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60b5e78663eba7ba08e0dd4915251e6261f4f35c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.593ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta =0}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>womit sich die bereits bekannte Formel

</p>

</mrow>

</msubsup>

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<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

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<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E'_{\gamma }={\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cae1fcd1d1e084d59f5587498d538aec6a0b56e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:26.187ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle E'_{\gamma }={\frac {E_{\gamma }}{1+{\frac {E_{\gamma }}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}(1-\cos \varphi )}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<p>ergibt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Hanno Krieger: <cite style="font-style:italic">Grundlagen der Strahlungsphysik und des Strahlenschutzes</cite>. 4. Auflage. Springer, 2012, ISBN 978-3-8348-1815-7.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Compton-Effekt&rft.au=Hanno+Krieger&rft.btitle=Grundlagen+der+Strahlungsphysik+und+des+Strahlenschutzes&rft.date=2012&rft.edition=4.&rft.genre=book&rft.isbn=9783834818157&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li>

<li>Jörn Bleck-Neuhaus: <cite style="font-style:italic">Elementare Teilchen</cite>. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-32578-6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Compton-Effekt&rft.au=J%C3%B6rn+Bleck-Neuhaus&rft.btitle=Elementare+Teilchen&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=9783642325786&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Peter_Schm%C3%BCser" title="Peter Schmüser">Peter Schmüser</a>: <cite style="font-style:italic">Feynman-Graphen und Eichtheorien für Experimentalphysiker</cite>. Springer, 1994, ISBN 3-540-58486-2.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Compton-Effekt&rft.au=Peter+Schm%C3%BCser&rft.btitle=Feynman-Graphen+und+Eichtheorien+f%C3%BCr+Experimentalphysiker&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.isbn=3540584862&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.leifiphysik.de/quantenphysik/quantenobjekt-photon/grundwissen/compton-effekt"><i>COMPTON-Effekt.</i></a> <a href="LEIFI" class="mw-redirect" title="LEIFI">LEIFI</a>-Physik,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 23. März 2017</span> (Erklärung und Animation).</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ACompton-Effekt&rft.title=COMPTON-Effekt&rft.description=COMPTON-Effekt&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.leifiphysik.de%2Fquantenphysik%2Fquantenobjekt-photon%2Fgrundwissen%2Fcompton-effekt&rft.publisher=%5B%5BLEIFI%5D%5D-Physik"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-Compton1922-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Compton1922_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Arthur H. Compton: <cite style="font-style:italic">Secondary Rediations produced by X-rays and some of their applications to physical problems</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Bulletin of the National Research Council</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>20</span>, 1922, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>10</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Compton-Effekt&rft.atitle=Secondary+Rediations+produced+by+X-rays+and+some+of+their+applications+to+physical+problems&rft.au=Arthur+H.+Compton&rft.btitle=Bulletin+of+the+National+Research+Council&rft.date=1922&rft.genre=book&rft.pages=10&rft.volume=20" style="display:none"> </span>; Nachdruck in: Arthur Holly Compton, Robert S. Shankland: <cite style="font-style:italic">Scientific papers of Arthur Holly Compton</cite>. University of Chicago Press, 1973, ISBN 0-226-11430-9 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=98sCh99YIJsC&pg=PA321#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Compton-Effekt&rft.au=Arthur+Holly+Compton%2C+Robert+S.+Shankland&rft.btitle=Scientific+papers+of+Arthur+Holly+Compton&rft.date=1973&rft.genre=book&rft.isbn=0226114309&rft.pub=University+of+Chicago+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-Compton1923-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Compton1923_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Arthur H. Compton: <cite style="font-style:italic">A Quantum Theory of the Scattering of X-rays by Light Elements</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>21</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>5</span>, 1923, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>483–502</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRev.21.483">10.1103/PhysRev.21.483</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Compton-Effekt&rft.atitle=A+Quantum+Theory+of+the+Scattering+of+X-rays+by+Light+Elements&rft.au=Arthur+H.+Compton&rft.date=1923&rft.doi=10.1103%2FPhysRev.21.483&rft.genre=journal&rft.issue=5&rft.jtitle=Physical+Review&rft.pages=483-502&rft.volume=21" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Mattew D. Schwartz: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Quantum Field Theory and the Standard Model</cite>. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>238–247</span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Compton-Effekt&rft.au=Mattew+D.+Schwartz&rft.btitle=Quantum+Field+Theory+and+the+Standard+Model&rft.date=2014&rft.edition=1&rft.genre=book&rft.isbn=9781107034730&rft.pages=238-247&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Peter Schmüser, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=2-8xLw72cUgC&pg=PA110&dq=%22inelastische+Streuung%22&hl=de&ei=onsrTbSKNI_zsgbbna3WAg&sa=X&oi=book_result&ct=result#v=snippet&q=Laser-Photonen%20Elektronen%20Gamma&f=false">S. 69</a>.</span>

</li>

</ol><div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten">

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4148252-9">4148252-9</a></span> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85029463">sh85029463</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>